本网讯（通讯员 时尚）1月 15日晚，图宾根大学Reinhard Kahle教授作了题目为“何为一致性证明以及它们应该是什么（What are consistency proofs and what should they be）”的报告。Kahle教授是国际科学哲学研究院的正式成员和副主席，研究领域包括数理逻辑、证明论、数学哲学、科学哲学等。讲座由我院程勇教授主持，本次讲座线上参与者达280余人次。

Kahle教授从历史的角度回顾了一百多年来一致性证明的起源和发展。他详细介绍了各个时代的逻辑学家从数学、哲学的角度提出的方法和新的挑战，并强调了一致性证明对数理逻辑的贡献和其哲学意义。

一致性问题的起源可以追溯到十九世纪末，当时康托尔创立了素朴集合论，旨在形式化地构建数学对象。然而，随着这一理论的广泛应用，许多悖论也随之出现，其中最著名的便是罗素悖论。为了解决这些问题，希尔伯特在1900年国际数学家大会提出了一个雄心勃勃的计划，旨在通过证明论来确保数学的一致性。他相信，我们可以通过一整套严格的方案，规定只能用有限长的证明，无可辩驳地给出整个数学的一致性。他打算先给出公理化的算术系统的一致性，再证明数学分析、集合论的一致性。

1904年希尔伯特本人给出了一致性证明的一个版本，他的形式系统包含了算术等式但是不包含归纳。庞加莱注意到尝试证明一致性的做法会是一种循环论证，因为我们需要用到归纳才可以证明不会产生矛盾式。与此同时，以布劳威尔（L. E. J. Brouwer）为代表的直觉主义逻辑的学者对更多的数学概念提出了新的质疑。他们认为排中律在无穷论域下不是恒成立的，实数并不能用自然数的幂来表示。希尔伯特最优秀的学生赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）也加入了直觉主义的阵营，这也迫使希尔伯特等人加快了解决一致性问题的进度。

希尔伯特在二十世纪二十年代提出了“希尔伯特纲领（Hilbert’s Programme）”。他使用有穷数学作为元理论，一方面理论本身是一致的，并且因为仅包含有限的对象所以排中律在该理论中是可验证的，；另一方面该理论仅包含一个弱的归纳，使用弱归纳去验证强归纳。这回应了布劳威尔和庞加莱等人的质疑。然而，哥德尔在三十年代相继证明了哥德尔第一不完全性定理和第二不完全性定理。这些定理指出，一个包含较弱算术的一致形式理论无法证明其自身的一致性。这使得希尔伯特原有的构想无法实现，但也引发了人们对于数学基础和一致性证明的更深入思考。

1936年，根岑（Gentzen）在前人的基础上提供了一种PA（Peano Arithmetic）的一致性证明。他提出有限数学可以等价于原始递归算术（PRA），并使用扩展到e₀的归纳证明了PA的一致性。该结果并不违背哥德尔不完全性定理，因为PA本身无法证明扩展到e₀的归纳原则。此外，根岑认为，一致性证明作为一个数学证明，必须使用某些已有的推论和概念，这些已有的结果必须预先假定是一致的，即没有“绝对的一致性”。根岑通过一致性证明创立了“序数分析”，也再次引发了人们对数学基础的思考。

Kahle教授在报告中总结了现今证明论领域的研究思想和不同的概念框架，以及不同框架间的不同系统的关联。最后Kahle教授介绍了更加前沿的内容。他先引用了Hugh Woodin,Gaisi Takeuti等人的观点，之后Kahle教授指出，一致性证明经历一百多年的发展，虽然与希尔伯特当初提出时的研究目的并不相同，但逻辑学家在提出问题、解决问题的同时不断产生新的思考，推动学科的发展。因此，一致性证明是数学证明结构理论的核心。

在评论互动环节，牛津大学Daniel Isaacson教授对讲座内容进行了简练的总结，并与Kahle教授讨论了Bernays和Kreisel对一致性证明的观点。之后程勇教授提问是谁首次提出了一致性和不完全性问题以及其研究意图是什么。Kahle教授回应因为一些历史原因他也并不清楚究竟是谁提出的，但是他给出了自己的看法和推理。程勇教授和Kahle教授也深入探讨了一致性问题在数学基础和数学哲学中的意义，及构造性序数分析的限度。至此本次讲座圆满结束。

（编辑：邓莉萍 审稿：刘慧）